ત્રણ એકમ સદિશો $a, b, c$ આપેલ છે કે જેથી $a \perp b$ અને $a \parallel c$ થાય,તો $a \times (b \times c)$ શું થશે?

જો $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})$ હોય,જ્યાં $\vec{a}, \vec{b}$ અને $\vec{c}$ એવા ત્રણ સદિશો છે કે જેથી $\vec{a} \cdot \vec{b} \neq 0$ અને $\vec{b} \cdot \vec{c} \neq 0$ થાય,તો $\vec{a}$ અને $\vec{c}$ કેવા છે?

જો $a = i + j - k$,$b = i - j + k$,અને $c = i - j - k$ હોય,તો $a \times (b \times c) = \dots$

ધારો કે $\bar{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\bar{b}$ અને $\bar{c}=\hat{j}-\hat{k}$ ત્રણ સદિશો છે જેથી $\bar{a} \times \bar{b}=\bar{c}$ અને $\bar{a} \cdot \bar{c}=0$ થાય. જો સદિશ $\bar{b}$ નો સદિશ $\bar{a} \times \bar{c}$ પરના પ્રક્ષેપ સદિશની લંબાઈ $l$ હોય,તો $3l^2$ ની કિંમત શોધો.

જો $\vec{a} = -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = 2\hat{i} + 0\hat{j} + \hat{k}$ હોય,તો નીચેની શરતોનું પાલન કરતો સદિશ $\vec{c}$ શોધો:
$(i)$ $\vec{c}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ સાથે સમતલીય છે.
$(ii)$ $\vec{c}$ એ $\vec{b}$ ને લંબ છે.
$(iii)$ $\vec{a} \cdot \vec{c} = 7$.

ધારો કે $\vec{p}, \vec{q}$ અને $\vec{r}$ એ ત્રણ અસમતલીય એકમ સદિશો છે જે એકબીજા સાથે લઘુકોણ $\theta$ પર સમાન રીતે નમેલા છે. $|\vec{p} \times (\vec{q} \times \vec{r})|$ નું મૂલ્ય શોધો.